当前位置: 首页 > >

幸运数字(洛谷-P3292)

发布时间:


题目描述

A 国共有 n 座城市,这些城市由 n-1 条道路相连,使得任意两座城市可以互达,且路径唯一。每座城市都有一个幸运数字,以纪念碑的形式矗立在这座城市的正中心,作为城市的象征。


一些旅行者希望游览 A 国。旅行者计划乘飞机降落在 x 号城市,沿着 x 号城市到 y 号城市之间那条唯一的路径游览,最终从 y 城市起飞离开 A 国。在经过每一座城市时,游览者就会有机会与这座城市的幸运数字拍照,从而将这份幸运保存到自己身上。然而,幸运是不能简单叠加的,这一点游览者也十分清楚。他们迷信着幸运数字是以异或的方式保留在自己身上的。


例如,游览者拍了 3 张照片,幸运值分别是 5,7,11,那么最终保留在自己身上的幸运值就是 9(5 xor 7 xor 11)。


有些聪明的游览者发现,只要选择性地进行拍照,便能获得更大的幸运值。例如在上述三个幸运值中,只选择 5 和 11 ,可以保留的幸运值为 14 。现在,一些游览者找到了聪明的你,希望你帮他们计算出在他们的行程安排中可以保留的最大幸运值是多少。


输入输出格式

输入格式:


第一行包含 2 个正整数 n ,q,分别表示城市的数量和旅行者数量。


第二行包含 n 个非负整数,其中第 i 个整数 Gi 表示 i 号城市的幸运值。


随后 n-1 行,每行包含两个正整数 x ,y,表示 x 号城市和 y 号城市之间有一条道路相连。


随后 q 行,每行包含两个正整数 x ,y,表示这名旅行者的旅行计划是从 x 号城市到 y 号城市。N<=20000,Q<=200000,Gi<=2^60


输出格式:


输出需要包含 q 行,每行包含 1 个非负整数,表示这名旅行者可以保留的最大幸运值。


输入输出样例

输入样例#1:


4 2
11 5 7 9
1 2
1 3
1 4
2 3
1 4


输出样例#1:


14?
11



思路:


题意本质是给出一棵点带权的树,q 次询问,每次询问从 x 到 y 路径上的点中选择一些点使得他们的权值异或和最大,输出最大异或和


要求权值异或和最大,明显可以使用线性基来解决,问题在于多次询问,每次求一条路径上的线性基


利用倍增求 LCA 进行预处理,开一个结构体 node,用 node[i][j].x 来表示 i 点向上跳 2^j 个点能到达的祖先,node[i][j].d 表示 i 点到 node[i][j].x 的路径上所有点的权值的线性基


这样一来,在询问 x 到 y 上的最大异或和时,将 x 到 LCA(x,y) 与 y 到 LCA(x,y) 的线性基合并即可


源代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define EPS 1e-9
#define PI acos(-1.0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define Pair pair
const int MOD = 2008;
const int N = 20000+5;
const int dx[] = {0,0,-1,1,-1,-1,1,1};
const int dy[] = {-1,1,0,0,-1,1,-1,1};
using namespace std;

struct LinearBasis {
int x;//点x
LL d[60+5];//线性基
LinearBasis() {
memset(d,0,sizeof(d));
}
bool add(LL x) {
for(int i=60; i>=0; i--) {
if(x&(1LL< if(d[i])//插入失败,异或
x^=d[i];
else {//插入成功,保存后退出
d[i]=x;
break;
}
}
}
return x>0;//x>0插入成功
}
LL queryMax() {//查询最大值
LL res=0;
for(int i=60; i>=0; i--)
if((res^d[i])>res)
res^=d[i];
return res;
}
} lb[N][20];//倍增数组
struct Edge{
int to;
int next;
}edge[N<<1];
int head[N],tot;
int n,m;
LL a[N];
int deep[N];
void addEdge(int x,int y) {
edge[++tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
}
void LCA(int x) {//处理倍增数组初值
for(int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
int y=edge[i].to;
if(y==lb[x][0].x)
continue;
lb[y][0].x=x;
lb[y][0].add(a[x]);//将x的权值加入到lb[y][0]的线性基
lb[y][0].add(a[y]);//将y的权值加入到lb[y][0]的线性基
deep[y]=deep[x]+1;
LCA(y);
}
}
LL query(int x,int y) {
LinearBasis res;
if(deep[x]!=deep[y]) {
if(deep[x]>deep[y])
swap(x,y);
for(int j=14; j>=0; j--) {
if(deep[lb[y][j].x]>=deep[x]) {
for(int k=60; k>=0; k--) //沿途记录线性基
if(lb[y][j].d[k]!=0)
res.add(lb[y][j].d[k]);
y=lb[y][j].x;
}
}
}

for(int j=14; j>=0; j--){
if(lb[x][j].x!=lb[y][j].x) {
for(int k=60; k>=0; k--) {
if(lb[x][j].d[k]!=0)
res.add(lb[x][j].d[k]);
if(lb[y][j].d[k]!=0)
res.add(lb[y][j].d[k]);
}
x=lb[x][j].x;
y=lb[y][j].x;
}
}

if(x!=y) {
for(int k=60; k>=0; k--) {
if(lb[x][0].d[k]!=0)res.add(lb[x][0].d[k]);
if(lb[y][0].d[k]!=0)res.add(lb[y][0].d[k]);
}
}

return res.queryMax();
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1; i int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
addEdge(x,y);
addEdge(y,x);
}

deep[1]=1;
LCA(1);

for(int j=1; j<=14; j++){
for(int i=1; i<=n; i++) { //求倍增数组
lb[i][j].x=lb[lb[i][j-1].x][j-1].x;
for(int k=0; k<=60; k++) //将lb[i][j-1].d和lb[lb[i][j-1]][j-1].d合并起来成lb[i][j].d
lb[i][j].d[k]=lb[i][j-1].d[k];
for(int k=0; k<=60; k++)
if(lb[lb[i][j-1].x][j-1].d[k]!=0)lb[i][j].add(lb[lb[i][j-1].x][j-1].d[k]);
}
}

for(int i=1; i<=m; i++) {
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
LL res;
if(x==y)//特判
res=a[x];
else
res=query(x,y);
printf("%lld
",res);
}
}

?



友情链接: