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2020高考数学二轮复*专题一函数与导数不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程练*

发布时间:

2019 年
【2019 最新】精选高考数学二轮复*专题一函数与导数不等式第 1 讲函数 图象与性质及函数与方程练*

一、选择题

1.(2016·临沂模拟)下列函数中,既是奇函数,又在区间(-1,1)上单调递减的函

数是( )

A.f(x)=sin x

B.f(x)=2cos x+1

C.f(x)=2x-1

D.f(x)=ln

1-x 1+x

解析 由函数 f(x)为奇函数排除 B、C,又 f(x)=sin x 在(-1,1)上单调递增,

排除 A,故选 D.

答案 D

2.(2015·湖南卷)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( )

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

解析 易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函

数 f(x)为奇函数,又 f(x)=ln=ln,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,

1)上是增函数,故选 A.

答案 A

3.已知二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图象如图所示,则函数

g(x)=ex+f′(x)的零点所在的区间是( )

A.(-1,0)

B.(0,1)

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C.(1,2)

D.(2,3)

解析 由函数 f(x)的图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以 1<b

<2.又 f′(x)=2x-b,所以 g(x)=ex+2x-b,所以 g′(x)=ex+2>0,即 g(x)

在 R 上单调递增,又 g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根据函数的零点存在性

定理可知,函数 g(x)的零点所在的区间是(0,1),故选 B.

答案 B

4.(2016·西安八校联考)函数 y=的图象大致是( )

解析 由 3x-1≠0 得 x≠0,

∴函数 y=的定义域为{x|x≠0},可排除 A;

当 x=-1 时,y==>0,可排除 B;

当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y=,

但从 D 中函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可

排除 D.故选 C.

答案 C

5.(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB

的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到

A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

解析 当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤时,在 Rt△POB 中,|PB|=

|OB|tan∠POB=tan x,在 Rt△PAB 中,|PA|==,则 f(x)=|PA|+|PB|=+tan x,

它不是关于 x 的一次函数,图象不是线段,故排除 A 和 C;当点 P 与点 C 重合,即

x=时,由以上得 f=+tan=+1,又当点 P 与边 CD 的中点重合,即 x=时,△PAO

与△PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形,故 f=|PA|+|PB|=+=2,知 f<

f,故又可排除 D.综上,选 B.

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答案 B

二、填空题

6.(2016·浙江卷)已知 a>b>1.若 loga b+logb a=,ab=ba,则 a=________,

b=________.

解析 设 logba=t,则 t>1,因为 t+=,解得 t=2,所以 a=b2,因此 ab=(b2)b

=b2b=ba,∴a=2b,b2=2b,又 b>1,解得 b=2,a=4.

答案 4 2

7.已知函数 f(x)=其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若直线 y=k(x+1)(k>0)与

函数 y=f(x)的图象恰有三个不同的交点,则实数 k 的取值范围是________.

解析 根据[x]表示的意义可知,当 0≤x<1 时,f(x)=x,当 1≤x<2 时,f(x)=

x-1,当 2≤x<3 时,f(x)=x-2,以此类推,当 k≤x<k+1 时,f(x)=x-k,k∈Z,

当-1≤x<0 时,f(x)=x+1,作出函数 f(x)的图象如图,直线 y=k(x+1)过点(-

1,0),当直线经过点(3,1)时恰有三个交点,当直线经过点(2,1)时恰好有两个

交点,在这两条直线之间时有三个交点,故 k∈. 答案 14,13 8.(2016·海淀二模)设函数 f(x)=24x(-xa-,ax)<(1,x-2a),x≥1.
(1)若 a=1,则 f(x)的最小值为________;

(2)若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________.

解析 (1)当 a=1 时,f(x)=24(x-x1-,1x)<(1,x-2),x≥1. 当 x<1 时,f(x)=2x-1∈(-1,1),

当 x≥1 时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,

∴f(x)min=-1.

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(2)由于 f(x)恰有 2 个零点,分两种情况讨论:

当 f(x)=2x-a,x<1 没有零点时,a≥2 或 a≤0.

当 a≥2 时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 时,有 2 个零点;

当 a≤0 时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 时无零点.

因此 a≥2 满足题意.

当 f(x)=2x-a,x<1 有一个零点时, 0<a<2.

f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 有一个零点,此时 a<1, 2a≥1,因此≤a<1.

综上知实数 a 的取值范围是.

答案 (1)-1 (2)∪[2,+∞)

三、解答题

9.已知函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数的零点,求实数 m 的取值范围.

解 当 m=0 时,f(x)=-2x+1,它显然有一个为正实数的零点.

当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x+1 的图象是抛物线,且与 y 轴的交点为(0,1),

由 f(x)有且仅有一个正实数的零点,则得:①或②x=<0,

解①,得 m=1;解②,得 m<0.

综上所述,m 的取值范围是(-∞,0]∪{1}.

10.已知函数 f(x)=x2-2ln x,h(x)=x2-x+a.

(1)求函数 f(x)的极值;

(2)设函数 k(x)=f(x)-h(x),若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数

a 的取值范围.

解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),令 f′(x)=2x-=0,得 x=1.

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,

所以函数 f(x)在 x=1 处取得极小值为 1,无极大值.

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(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-2ln x-a(x>0),

所以 k′(x)=1-,令 k′(x)>0,得 x>2,

所以 k(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,

所以当 x=2 时,函数 k(x)取得最小值,k(2)=2-2ln 2-a,

因为函数 k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点.

即有 k(x)在[1,2)和(2,3]内各有一个零点,

所以即有12--a2≥ln0,2-a<0,
3-2ln 3-a≥0,
解得 2-2ln 2<a≤3-2ln 3.

所以实数 a 的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3].

11.已知函数 f(x)=ex-m-x,其中 m 为常数.

(1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立,求 m 的取值范围;

(2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由.

解 (1)f′(x)=ex-m-1,

令 f′(x)=0,得 x=m.

故当 x∈(-∞,m)时,ex-m<1,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当 x∈(m,+∞)时,ex-m>1,f′(x)>0,f(x)单调递增.

∴当 x=m 时,f(m)为极小值,也是最小值.

令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1,

即若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立,则 m 的取值范围是(-∞,1].

(2)由(1)知 f(x)在[0,2m]上至多有两个零点,当 m>1 时,f(m)=1-m<0.

∵f(0)=e-m>0,f(0)f(m)<0,

∴f(x)在(0,m)上有一个零点. ∵f(2m)=em-2m,令 g(m)=em-2m, ∵当 m>1 时,g′(m)=em-2>0, ∴g(m)在(1,+∞)上单调递增, ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)·f(2m)<0, ∴f(x)在(m,2m)上有一个零点. ∴故 f(x)在[0,2m]上有两个零点.

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